Das Binärsystem

Lernziele: Du kannst Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen und umgekehrt, den Wertebereich von n Bit bestimmen und einfache Binärzahlen addieren.

Warum Computer binär arbeiten

In elektronischen Schaltungen lassen sich zwei Zustände, z. B. „Spannung hoch“ und „Spannung niedrig“, technisch sehr zuverlässig unterscheiden. Zehn verschiedene Spannungsstufen für zehn Ziffern wären störanfälliger. Deshalb nutzen Computer das Binärsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1.

Die Stellenwerte

Genau wie im Dezimalsystem hat jede Stelle einen festen Wert, nur dass er sich nach links jeweils verdoppelt. Bei einem Byte (8 Bit):

Stelle	8.	7.	6.	5.	4.	3.	2.	1.
Potenz	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Wert	128	64	32	16	8	4	2	1

Binär in Dezimal umrechnen

Du zählst die Stellenwerte zusammen, an denen eine 1 steht.

• 00001101: 8 + 4 + 1 = 13
• 01000001: 64 + 1 = 65 (der Buchstabe „A“)
• 11000000: 128 + 64 = 192

Dezimal in Binär umrechnen: Divisionsmethode

Teile die Zahl immer wieder durch 2 und notiere den Rest. Die Reste, von unten nach oben gelesen, ergeben die Binärzahl.

Beispiel: 20

Rechnung	Rest
20 : 2 = 10	0
10 : 2 = 5	0
5 : 2 = 2	1
2 : 2 = 1	0
1 : 2 = 0	1

Von unten nach oben gelesen: 10100. Auf 8 Stellen aufgefüllt: 00010100.

Zur Kontrolle: 16 + 4 = 20 ✔

Wie viele Werte passen in n Bit?

Bits	Anzahl der Werte	Größter Wert
1	2	1
2	4	3
3	8	7
4	16	15
8	256	255

Mit n Bit lassen sich 2ⁿ Werte darstellen (0 bis 2ⁿ − 1). Bei jedem zusätzlichen Bit verdoppelt sich die Zahl der Möglichkeiten.

Binäre Addition

Es gelten vier Regeln: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 10 (also 0 und 1 übertragen, wie bei 5 + 5 = 10 im Dezimalsystem).

  0101   (5)
+ 0011   (3)
------
  1000   (8)

Ausblick

Mit diesem Wissen berechnest du später, warum Arbeitsspeicher in Zweierpotenzen angegeben wird (2¹⁰ = 1024) und wie viele Adressen es in einem Netzwerk gibt (z. B. 2³² für IPv4).

Merke: Binär hat die Basis 2. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die rechts davon. Mit n Bit lassen sich 2ⁿ Werte darstellen.